Zakres funkcji to zbiór liczb, które funkcja może wytworzyć. Innymi słowy, jest to zbiór wartości y, który otrzymujesz, gdy podłączysz wszystkie możliwe wartości x do funkcji. Ten zestaw możliwych wartości x nazywa się domeną. Jeśli chcesz wiedzieć, jak znaleźć zakres funkcji, wykonaj następujące kroki.
Kroki
Metoda 1 z 4: Znajdowanie zakresu funkcji na podstawie wzoru
Krok 1. Zapisz wzór
Załóżmy, że formuła, z którą pracujesz, jest następująca: f(x) = 3x2 + 6x -2. Oznacza to, że kiedy umieścisz dowolny x w równaniu, otrzymasz swoją wartość y. To jest funkcja paraboli.
Krok 2. Znajdź wierzchołek funkcji, jeśli jest kwadratowy
Jeśli pracujesz z linią prostą lub dowolną funkcją z wielomianem liczby nieparzystej, np. f(x) = 6x3+2x + 7, możesz pominąć ten krok. Ale jeśli pracujesz z parabolą lub dowolnym równaniem, w którym współrzędna x jest podnoszona do kwadratu lub podnoszona do równej potęgi, musisz wykreślić wierzchołek. Aby to zrobić, po prostu użyj formuły -b/2a, aby uzyskać współrzędną x funkcji 3x2 + 6x -2, gdzie 3 = a, 6 = b i -2 = c. W tym przypadku -b to -6, a 2a to 6, więc współrzędna x to -6/6 lub -1.
- Teraz podłącz -1 do funkcji, aby uzyskać współrzędną y. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- Wierzchołek to (-1, -5). Narysuj go, rysując punkt, w którym współrzędna x wynosi -1, a współrzędna y wynosi -5. Powinien znajdować się w trzeciej ćwiartce wykresu.
Krok 3. Znajdź kilka innych punktów w funkcji
Aby zrozumieć działanie funkcji, powinieneś podłączyć kilka innych współrzędnych x, aby móc zorientować się, jak wygląda funkcja, zanim zaczniesz szukać zakresu. Ponieważ jest to parabola i x2 współrzędna jest dodatnia, będzie skierowana w górę. Ale żeby pokryć twoje bazy, podłączmy kilka współrzędnych x, aby zobaczyć, jakie współrzędne y dają:
- f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Jeden punkt na wykresie to (-2, -2)
- f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Kolejny punkt na wykresie to (0, -2)
- f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Trzeci punkt na wykresie to (1, 7).
Krok 4. Znajdź zakres na wykresie
Teraz spójrz na współrzędne y na wykresie i znajdź najniższy punkt, w którym wykres dotyka współrzędnej y. W tym przypadku najniższa współrzędna y znajduje się w wierzchołku -5, a wykres rozciąga się w nieskończoność powyżej tego punktu. Oznacza to, że zakres funkcji wynosi y = wszystkie liczby rzeczywiste ≥ -5.
Metoda 2 z 4: Znajdowanie zakresu funkcji na wykresie
Krok 1. Znajdź minimum funkcji
Poszukaj najniższej współrzędnej y funkcji. Powiedzmy, że funkcja osiąga swój najniższy punkt przy -3. Ta funkcja może również stawać się coraz mniejsza w nieskończoność, tak że nie ma ustalonego najniższego punktu -- tylko nieskończoność.
Krok 2. Znajdź maksimum funkcji
Powiedzmy, że najwyższa współrzędna y osiągana przez funkcję to 10. Ta funkcja może również stawać się coraz większa w nieskończoność, więc nie ma ustalonego najwyższego punktu -- tylko nieskończoność.
Krok 3. Podaj zakres
Oznacza to, że zakres funkcji lub zakres współrzędnych y wynosi od -3 do 10. Czyli -3 ≤ f(x) ≤ 10. To jest zakres funkcji.
- Załóżmy jednak, że wykres osiąga najniższy punkt przy y = -3, ale stale rośnie. Wtedy zakres to f(x) ≥ -3 i tyle.
- Powiedzmy, że wykres osiąga najwyższy punkt na 10, ale idzie w dół na zawsze. Wtedy zakres wynosi f(x) ≤ 10.
Metoda 3 z 4: Znajdowanie zakresu funkcji relacji
Krok 1. Zapisz relację
Relacja to zbiór uporządkowanych par o współrzędnych x i y. Możesz spojrzeć na relację i określić jej dziedzinę i zakres. Załóżmy, że pracujesz z następującą relacją: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.
Krok 2. Wypisz współrzędne y relacji
Aby znaleźć zakres relacji, po prostu zapisz wszystkie współrzędne y każdej uporządkowanej pary: {-3, 6, -1, 6, 3}.
Krok 3. Usuń wszystkie zduplikowane współrzędne, aby mieć tylko jedną z każdej współrzędnej y
Zauważysz, że podałeś „6” dwa razy. Wyjmij go, abyś został z {-3, -1, 6, 3}.
Krok 4. Napisz zakres relacji w porządku rosnącym
Teraz zmień kolejność liczb w zestawie, aby przechodzić od najmniejszej do największej i masz swój zakres. Zakres relacji {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} to {-3, -1, 3, 6}. Wszystko gotowe.
Krok 5. Upewnij się, że relacja jest funkcją
Aby relacja była funkcją, za każdym razem, gdy wstawiasz jedną liczbę o współrzędnej x, współrzędna y musi być taka sama. Na przykład relacja {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} nie jest funkcją, ponieważ gdy za pierwszym razem wstawisz 2 jako x, otrzymasz 3, ale za drugim razem włóż 2, masz czwórkę. Aby relacja była funkcją, jeśli wprowadzisz to samo wejście, zawsze powinieneś otrzymać to samo wyjście. Jeśli wprowadzisz -7, powinieneś otrzymać tę samą współrzędną y (cokolwiek to może być) za każdym razem.
Metoda 4 z 4: Znajdowanie zakresu funkcji w zadaniu tekstowym
Krok 1. Przeczytaj problem
Załóżmy, że masz do czynienia z następującym problemem: „Becky sprzedaje bilety na pokaz talentów w swojej szkole po 5 dolarów każdy. Kwota, którą zbiera, jest funkcją liczby sprzedanych biletów. Jaki jest zakres tej funkcji?"
Krok 2. Napisz problem jako funkcję
W tym przypadku M reprezentuje ilość zebranych pieniędzy, a t reprezentuje ilość sprzedanych biletów. Ponieważ jednak każdy bilet będzie kosztował 5 dolarów, będziesz musiał pomnożyć ilość sprzedanych biletów przez 5, aby znaleźć kwotę pieniędzy. Dlatego funkcję można zapisać jako M(t) = 5t.
Na przykład, jeśli sprzeda 2 bilety, będziesz musiał pomnożyć 2 przez 5, aby otrzymać 10, czyli ilość dolarów, które dostanie
Krok 3. Określ domenę
Aby określić zakres, musisz najpierw znaleźć domenę. Dziedziną są wszystkie możliwe wartości t, które działają w równaniu. W tym przypadku Becky może sprzedać 0 lub więcej biletów - nie może sprzedać biletów negatywnych. Ponieważ nie znamy liczby miejsc w jej szkolnej auli, możemy założyć, że teoretycznie może sprzedać nieskończoną liczbę biletów. A ona może sprzedawać tylko całe bilety; na przykład nie może sprzedać 1/2 biletu. Dlatego dziedziną funkcji jest t = dowolna nieujemna liczba całkowita.
Krok 4. Określ zakres
Przedział to możliwa kwota, jaką Becky może zarobić na swojej sprzedaży. Musisz pracować z domeną, aby znaleźć zakres. Jeśli wiesz, że domena jest dowolną nieujemną liczbą całkowitą i że formuła to M(t) = 5t, to wiesz, że możesz podłączyć dowolną nieujemną liczbę całkowitą do tej funkcji, aby uzyskać wynik lub zakres. Na przykład, jeśli sprzedaje 5 biletów, to M(5) = 5 x 5, czyli 25 dolarów. Jeśli sprzeda 100, to M(100) = 5 x 100, czyli 500 dolarów. Dlatego zakres funkcji jest dowolną nieujemną liczbą całkowitą, która jest wielokrotnością pięciu.
Oznacza to, że każda nieujemna liczba całkowita będąca wielokrotnością pięciu jest możliwym wyjściem dla wejścia funkcji
Wideo - Korzystając z tej usługi, niektóre informacje mogą być udostępniane YouTube
Porady
- W trudniejszych przypadkach może być łatwiej narysować wykres najpierw za pomocą domeny (jeśli to możliwe), a następnie określić graficznie zakres.
- Sprawdź, czy możesz znaleźć funkcję odwrotną. Dziedzina funkcji odwrotnej funkcji jest równa zakresowi tej funkcji.
- Sprawdź, czy funkcja się powtarza. Każda funkcja, która powtarza się wzdłuż osi x, będzie miała ten sam zakres dla całej funkcji. Na przykład f(x) = sin(x) ma zakres od -1 do 1.