Trzy sposoby rozwiązywania układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne

Spisu treści:

Trzy sposoby rozwiązywania układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne
Trzy sposoby rozwiązywania układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne

Wideo: Trzy sposoby rozwiązywania układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne

Wideo: Trzy sposoby rozwiązywania układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne
Wideo: Jak załozyć darmowe konto bankowe w internecie nie mając 18 lat? Konto dla młodzieży i dzieci Mbank 2024, Marsz
Anonim

W „układzie równań” zostaniesz poproszony o rozwiązanie dwóch lub więcej równań jednocześnie. Kiedy mają w sobie dwie różne zmienne, takie jak x i y lub aib, na pierwszy rzut oka może być trudno zobaczyć, jak je rozwiązać. Na szczęście, gdy już wiesz, co robić, do rozwiązania problemu potrzebujesz tylko podstawowych umiejętności z algebry (a czasem trochę znajomości ułamków). Jeśli jesteś wzrokowcem lub jeśli Twój nauczyciel tego wymaga, naucz się również rysować równania. Wykresy mogą być przydatne, aby „zobaczyć, co się dzieje” lub sprawdzić swoją pracę, ale może być wolniejsze niż inne metody i nie działa dobrze dla wszystkich układów równań.

Kroki

Metoda 1 z 3: Korzystanie z metody substytucji

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 1
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 1

Krok 1. Przenieś zmienne na różne strony równania

Ta metoda „podstawiania” zaczyna się od „rozwiązania przez x” (lub dowolnej innej zmiennej) w jednym z równań. Załóżmy na przykład, że twoje równania to 4x + 2 lata = 8 oraz 5x + 3 lata = 9. Zacznij od spojrzenia tylko na pierwsze równanie. Zmień kolejność, odejmując 2 lata z każdej strony, aby uzyskać: 4x = 8 - 2 lata.

Ta metoda często wykorzystuje później ułamki. Możesz zamiast tego wypróbować poniższą metodę eliminacji, jeśli nie lubisz ułamków

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 2
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 2

Krok 2. Podziel obie strony równania, aby „rozwiązać x

" Gdy masz wyraz x (lub dowolną używaną zmienną) po jednej stronie równania, podziel obie strony równania, aby uzyskać samą zmienną. Na przykład:

  • 4x = 8 - 2 lata
  • (4x)/4 = (8/4) - (2 lata/4)
  • x = 2 - ½y
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 3
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 3

Krok 3. Podłącz to z powrotem do drugiego równania

Upewnij się, że wracasz do drugiego równania, a nie do tego, którego już używałeś. W tym równaniu zastąp zmienną, którą rozwiązałeś, aby pozostała tylko jedna zmienna. Na przykład:

  • Wiesz to x = 2 - ½y.
  • Twoje drugie równanie, którego jeszcze nie zmieniłeś, to: 5x + 3 lata = 9.
  • W drugim równaniu zastąp x "2 - ½y": 5(2 - ½ roku) + 3 lata = 9.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 4
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 4

Krok 4. Znajdź pozostałą zmienną

Masz teraz równanie z tylko jedną zmienną. Użyj zwykłych technik algebry, aby znaleźć tę zmienną. Jeśli zmienne się anulują, przejdź do ostatniego kroku.

W przeciwnym razie otrzymasz odpowiedź na jedną ze zmiennych:

  • 5(2 - ½ roku) + 3 lata = 9
  • 10 – (5/2)r + 3r = 9
  • 10 – (5/2)r + (6/2)r = 9 (Jeśli nie rozumiesz tego kroku, dowiedz się, jak dodawać ułamki. Jest to często, ale nie zawsze, konieczne w przypadku tej metody).
  • 10 + ½ roku = 9
  • ½ roku = -1
  • y = -2
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 5
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 5

Krok 5. Użyj odpowiedzi, aby znaleźć drugą zmienną

Nie popełnij błędu, pozostawiając problem w połowie ukończony. Musisz wstawić otrzymaną odpowiedź z powrotem do jednego z pierwotnych równań, aby móc znaleźć drugą zmienną:

  • Wiesz to y = -2
  • Jednym z oryginalnych równań jest 4x + 2 lata = 8. (W tym kroku możesz użyć dowolnego równania).
  • Podłącz -2 zamiast y: 4x + 2(-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 6
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 6

Krok 6. Dowiedz się, co zrobić, gdy obie zmienne się anulują

Kiedy podłączasz x=3lat+2 lub podobną odpowiedź do drugiego równania, próbujesz uzyskać równanie z tylko jedną zmienną. Czasami zamiast tego otrzymujesz równanie bez zmiennych. Dokładnie sprawdź swoją pracę i upewnij się, że łączysz (zmienione) równanie jeden z równaniem dwa, a nie tylko z powrotem do równania 1. Jeśli masz pewność, że nie popełniłeś żadnych błędów, masz jeden z następujących wyników:

  • Jeśli otrzymasz równanie, które nie ma zmiennych i nie jest prawdziwe (na przykład 3 = 5), problem ma: brak rozwiązania. (Jeśli wykreślisz oba równania, zobaczysz, że są równoległe i nigdy się nie przecinają).
  • Jeśli otrzymasz równanie bez zmiennych, które jest prawdziwe (np. 3 = 3), problem polega na: nieskończone rozwiązania. Oba równania są dokładnie sobie równe. (Jeśli wykreślisz te dwa równania, zobaczysz, że to ta sama linia).

Metoda 2 z 3: Korzystanie z metody eliminacji

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 7
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 7

Krok 1. Znajdź zmienną, która anuluje

Czasami równania już „anulują” zmienną po ich dodaniu. Na przykład, gdy połączysz równania 3x + 2 lata = 11 oraz 5x - 2 lata = 13, „+2y” i „-2y” znoszą się wzajemnie, usuwając wszystkie „y” z równania. Spójrz na równania w swoim problemie i dowiedz się, czy któraś ze zmiennych zniesie się w ten sposób. Jeśli żaden z nich nie zrobi tego, przeczytaj następny krok, aby uzyskać poradę.

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 8
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 8

Krok 2. Pomnóż jedno równanie, aby zmienna się zniosła

(Pomiń ten krok, jeśli zmienne już się znoszą.) Jeśli równania nie mają zmiennej, która znosi się naturalnie, zmień jedno z równań, aby tak się stało. Najłatwiej to naśladować na przykładzie:

  • Masz układ równań 3x - y = 3 oraz - x + 2y = 4.
  • Zmieńmy pierwsze równanie tak, aby tak zmienna anuluje. (Możesz wybrać x zamiast tego otrzymasz tę samą odpowiedź na końcu).
  • ten - tak na pierwszym równaniu należy anulować za pomocą + 2 lata w drugim równaniu. Możemy to osiągnąć poprzez pomnożenie - tak o 2.
  • Pomnóż obie strony pierwszego równania przez 2, w ten sposób: 2(3x - y)=2(3), więc 6x - 2 lata = 6. Teraz - 2 lata anuluje z +2 lata w drugim równaniu.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 9
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 9

Krok 3. Połącz dwa równania

Aby połączyć dwa równania, dodaj razem lewe boki i dodaj razem prawe boki. Jeśli prawidłowo ustawisz równanie, jedna ze zmiennych powinna się anulować. Oto przykład wykorzystujący te same równania, co w ostatnim kroku:

  • Twoje równania są 6x - 2 lata = 6 oraz - x + 2y = 4.
  • Połącz lewe boki: 6x - 2y - x + 2y = ?
  • Połącz prawe strony: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 10
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 10

Krok 4. Znajdź ostatnią zmienną

Uprość połączone równanie, a następnie użyj podstawowej algebry do rozwiązania ostatniej zmiennej. ' Jeśli po uproszczeniu nie ma żadnych zmiennych, przejdź do ostatniego kroku w tej sekcji.

W przeciwnym razie powinieneś otrzymać prostą odpowiedź na jedną z twoich zmiennych. Na przykład:

  • Ty masz 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Grupuj x oraz tak zmienne razem: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • Uproszczać: 5x = 10
  • Rozwiąż dla x: (5x)/5 = 10/5, więc x = 2.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 11
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 11

Krok 5. Znajdź drugą zmienną

Znalazłeś jedną zmienną, ale jeszcze nie skończyłeś. Podłącz swoją odpowiedź do jednego z oryginalnych równań, aby móc znaleźć drugą zmienną. Na przykład:

  • Wiesz to x = 2, a jednym z twoich oryginalnych równań jest 3x - y = 3.
  • Podłącz 2 zamiast x: 3(2) - y = 3.
  • Znajdź y w równaniu: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, więc 6 = 3 + y
  • 3 = y
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 12
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 12

Krok 6. Dowiedz się, co zrobić, gdy obie zmienne się anulują

Czasami połączenie tych dwóch równań daje w wyniku równanie, które nie ma sensu, a przynajmniej nie pomaga rozwiązać problemu. Sprawdź dokładnie swoją pracę od początku, ale jeśli się nie pomyliłeś, zapisz jedną z poniższych odpowiedzi:

  • Jeśli połączone równanie nie ma zmiennych i nie jest prawdziwe (np. 2 = 7), istnieje brak rozwiązania które będą działać na obu równaniach. (Jeśli narysujesz oba równania, zobaczysz, że są równoległe i nigdy się nie przecinają).
  • Jeśli połączone równanie nie ma zmiennych i jest prawdziwe (np. 0 = 0), istnieją nieskończone rozwiązania. Oba równania są w rzeczywistości identyczne. (Jeśli narysujesz je na wykresie, zobaczysz, że są to ta sama linia.)

Metoda 3 z 3: Tworzenie wykresów równań

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 13
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 13

Krok 1. Używaj tej metody tylko wtedy, gdy zostaniesz o to poproszony

O ile nie używasz komputera lub kalkulatora graficznego, wiele układów równań można rozwiązać tylko w przybliżeniu za pomocą tej metody. Twój nauczyciel lub podręcznik do matematyki może wymagać użycia tej metody, abyś był zaznajomiony z rysowaniem równań jako linii. Możesz również użyć tej metody, aby dwukrotnie sprawdzić swoje odpowiedzi z jednej z innych metod.

Podstawową ideą jest wykreślenie obu równań i znalezienie punktu, w którym się przecinają. Wartości x i y w tym momencie dadzą nam wartość x i wartość y w układzie równań

Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 14
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 14

Krok 2. Rozwiąż oba równania dla y

Trzymając oba równania oddzielnie, użyj algebry, aby przekształcić każde równanie w postać „y = _x + _”. Na przykład:

  • Twoje pierwsze równanie to 2x + y = 5. Zmień to na y = -2x + 5.
  • Twoje drugie równanie to - 3x + 6 lat = 0. Zmień to na 6 lat = 3x + 0, a następnie uprość do y = ½x + 0.
  • Jeśli oba równania są identyczne, cała linia będzie „skrzyżowaniem”. Pisać nieskończone rozwiązania.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 15
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 15

Krok 3. Narysuj osie współrzędnych

Na kartce papieru milimetrowego narysuj pionową „oś y” i poziomą „oś x”. Zaczynając od punktu, w którym się przecinają, oznacz liczby 1, 2, 3, 4 itd., przesuwając się w górę na osi y i ponownie w prawo na osi x. Oznacz liczby -1, -2 itd., przesuwając się w dół na osi y i w lewo na osi x.

  • Jeśli nie masz papieru milimetrowego, użyj linijki, aby upewnić się, że liczby są dokładnie od siebie oddalone.
  • Jeśli używasz dużych liczb lub ułamków dziesiętnych, może być konieczne inne skalowanie wykresu. (Na przykład 10, 20, 30 lub 0,1, 0,2, 0,3 zamiast 1, 2, 3).
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 16
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 16

Krok 4. Narysuj punkt przecięcia y dla każdej linii

Gdy masz równanie w postaci y = _x + _, możesz rozpocząć tworzenie wykresu, rysując kropkę w miejscu, w którym linia przecina oś y. Zawsze będzie to wartość y równa ostatniej liczbie w tym równaniu.

  • W naszych wcześniejszych przykładach jedna linia (y = -2x + 5) przecina oś y w

    Krok 5.. Inny (y = ½x + 0) przechwytuje w 0. (Są to punkty (0, 5) i (0, 0) na wykresie.)

  • Użyj różnych kolorowych pisaków lub ołówków, jeśli to możliwe dla dwóch linii.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 17
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 17

Krok 5. Użyj nachylenia, aby kontynuować linie

W formie y = _x + _, liczba przed x to nachylenie linii. Za każdym razem, gdy x zwiększa się o jeden, wartość y zwiększa się o wielkość nachylenia. Użyj tych informacji, aby wykreślić punkt na wykresie dla każdej linii, gdy x = 1. (Alternatywnie wstaw x = 1 dla każdego równania i rozwiąż y).

  • W naszym przykładzie linia y = -2x + 5 ma nachylenie - 2. Przy x = 1 linia przesuwa się w dół o 2 od punktu przy x = 0. Narysuj odcinek między (0, 5) a (1, 3).
  • Linia y = ½x + 0 ma nachylenie ½. Przy x = 1 linia przesuwa się w górę o ½ od punktu przy x=0. Narysuj odcinek między (0, 0) a (1, ½).
  • Jeśli linie mają to samo nachylenie, linie nigdy się nie przecinają, więc nie ma odpowiedzi na układ równań. Pisać brak rozwiązania.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 18
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 18

Krok 6. Kontynuuj kreślenie linii, aż się przetną

Zatrzymaj się i spójrz na swój wykres. Jeśli linie już się przekroczyły, przejdź do następnego kroku. W przeciwnym razie podejmij decyzję na podstawie tego, co robią linie:

  • Jeśli linie zbliżają się do siebie, wykreślaj punkty w tym kierunku.
  • Jeśli linie oddalają się od siebie, cofnij się i wykreśl punkty w innym kierunku, zaczynając od x = -1.
  • Jeśli linie nie są blisko siebie, spróbuj skoczyć do przodu i wykreślić bardziej odległe punkty, na przykład w x = 10.
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 19
Rozwiązywanie układów równań algebraicznych zawierających dwie zmienne Krok 19

Krok 7. Znajdź odpowiedź na skrzyżowaniu

Gdy te dwie linie przecinają się, wartości x i y w tym punkcie są odpowiedzią na twój problem. Jeśli masz szczęście, odpowiedź będzie liczbą całkowitą. Na przykład w naszych przykładach dwie linie przecinają się w (2, 1) więc twoja odpowiedź brzmi x = 2 i y = 1. W niektórych układach równań linie przecinają się przy wartości pomiędzy dwiema liczbami całkowitymi i jeśli wykres nie jest wyjątkowo precyzyjny, trudno będzie określić, gdzie to jest. Jeśli tak się stanie, możesz napisać odpowiedź, taką jak „x jest między 1 a 2”, lub użyć metody podstawienia lub eliminacji, aby znaleźć dokładną odpowiedź.

Wideo - Korzystając z tej usługi, niektóre informacje mogą być udostępniane YouTube

Porady

  • Możesz sprawdzić swoją pracę, podłączając odpowiedzi z powrotem do oryginalnych równań. Jeśli równania kończą się prawdą (na przykład 3 = 3), twoja odpowiedź jest poprawna.
  • W metodzie eliminacji czasami będziesz musiał pomnożyć jedno równanie przez liczbę ujemną, aby uzyskać zmienną do anulowania.

Ostrzeżenia

Tych metod nie można używać, jeśli istnieje zmienna podniesiona do wykładnika, na przykład x2. Aby uzyskać więcej informacji na temat równań tego typu, zapoznaj się z przewodnikiem dotyczącym rozkładania na czynniki kwadratowe dwóch zmiennych.

Zalecana: